© Shutterstock

Ihailtu ja vihattu: Näin nolla sai alkunsa

Vuonna 628 intialainen matemaatikko Brahmagupta keksi nollan, ja niin ”ei mitään” nousi lukujen kastiin. Nolla hämmensi ihmisiä ympäri maailmaa, ja monet suorastaan vihasivat sitä. Italiassa säädettiin jopa nollan kieltävä laki.

maanantai 4. syyskuuta 2017 teksti Natasja Broström

Kun intialainen tähtitieteilijä ja matemaatikko Brahmagupta vuonna 628 jaa. viimeisteli suuren tieteellisen teoksensa Brahma Sphuta Siddhanta, vapaasti suomennettuna ”maailmankaikkeuden avautuminen”, hän ei arvannut sen synnyttävän niin ihailua kuin vihaakin ympäri maailmaa.

30-vuotias Brahmagupta oli työstänyt kirjaansa vuosikausia kotiseutuaan Pohjois-Intian Rajasthanissa hallitsevan ­kuningas Vyaghramukhan tuella. 

Kuninkaallisena tiedemiehenä Brahmaguptan tehtävä oli muun muassa tutkia taivaan ja fysiikan lakeja. 

Hän matkusti säännöllisesti kotikaupungistaan Bhillamalasta viisisataa kilometriä etelään Ujjainin kuninkaalliseen tähtitie­teelliseen observatorioon hankkimaan tutkimusaineistoa.

Brahmagupta kirjasi tuloksensa ja ­teoriansa Brahma Sphuta Siddhantan 24 runomuotoiseen lukuun. Runomuodon ansiosta tekstejä oli helpompi lukea ääneen ja oppia ulkoa.

Teoksessa käsiteltiin lähes kaikkia tutkimusaloja, ja Brahmagupta esimerkiksi kirjoitti jo tuhat vuotta ennen Newtonia painovoiman pitävän esineitä Maan pinnalla. 

Tarkkailtuaan valon laskeutumista keittopadan pinnalle Brahmagupta myös päätteli, että Aurinko oli kauempana Maasta kuin Kuu.

Tähtitieteen ja fysiikan lisäksi kirjassa käsiteltiin paljon matematiikkaa, ja juuri sillä saralla Brahmagupta aiheuttikin melkoisen mullistuksen tiedemaailmassa. 

Hän antoi ensimmäisenä oman numeron tyhjälle ja esitti, että luvuilla voi olla myös negatiivisia arvoja. 

Brahmagupta sai luvut katoamaan

Kirjan teoriat löivät muut tutkijat täysin ällikällä. Brahmagupta esimerkiksi väitti, että nollaa voisi käyttää laskutoimituksissa aivan kuten muitakin lukuja.

Yksi Brahmaguptan säännöistä oli: ”Kun johonkin lukuun lisätään 0 tai siitä vähennetään 0, luku pysyy muuttumattomana. Jos luku kerrotaan nollalla, tulos on 0.” 

Senaikaiset matemaatikot olivat hämmentyneitä ja järkyttyneitä. Jos 1 + 0 ja 1 – 0 ovat 1, niin miten 1 x 0 sitten onkin 0? Minne ykkönen häviää?

Toinen käsittämättömyys Brahmaguptan matematiikassa oli positiivisten ja ­negatiivisten lukujen käyttö. 

Brahma­gupta kutsui niitä ”varallisuudeksi” ja ”velaksi”. Kirjassa annettiin esimerkkejä: ”Jos velasta vähennetään 0, tuloksena on velka” ja ”jos velan kertoo tai jakaa varallisuudella, tuloksena on velka”.

Brahmagupta teki kertaheitolla nollasta keskipisteen suoralla, jonka toisella puolella ovat positiiviset ja toisella nega­tiiviset luvut. 

Kukaan tavallinen ihminen ei kuitenkaan ymmärtänyt, miten laskutoimituksista voisi tulla negatiivisia ­tuloksia.

Veronkantaja ei voinut kerätä negatiivista veroa, eikä talonpoika voinut omistaa miinus kolmea lehmää. Esimerkiksi laskutoimitus 7 – 13 oli mahdoton ajatuskin ja siksi täysin merkityksetön.

Brahmaguptan ­negatiiviset luvut ­jäivätkin tavallisille ihmisille käsittä­mättömiksi, ja vuosisatojen ajan niitä käyttivät vain oppineet matemaatikot ­ratkaistessaan yhtälöitä.

Myös nolla oli niin erikoinen käsite, että kesti useita satoja vuosia, ennen kuin se alkoi vähitellen lyödä itsensä läpi.

Varhaisin esimerkki ­nollasta merkityksellisenä numerona on löydetty intialaisesta kivitaulusta vuodelta 876 jaa. eli 247 vuotta Brahmaguptan kirjan ilmestymisen jälkeen. 

Kivitaulun mukaan intialaiseen Gwaliorin kaupunkiin, 400 kilometriä Delhistä etelään, perustettiin puutarha, joka pystyi tuottamaan päivittäin 50 kukkaköynnöstä paikalliselle temppelille – ja luku viisikymmentä oli merkitty kaivertamalla kivitauluun numero 5 ja sen jälkeen oli pieni, pyöreä 0.

Tilaa HISTORIA kotiin

Haluatko tilata Historian? Katso tästä parhaat tarjoukset

Tyhjää paikkaa oli merkitty ennenkin

Negatiiviset luvut eivät olleet Brahmaguptan keksintö, vaan ne olivat peräisin Kiinasta. 

Noin vuosina 1000–200 eaa. kootun teoksen ”Yhdeksän lukua matematiikan taidosta” kahdeksannessa luvussa käsiteltiin negatiivisia lukuja yhtälöissä, ja ensimmäiset intialaiset matemaatikot olivat kirjoittaneet kiinalaisten oudoista luvuista jo 400-luvulla jaa. Brahmagupta kuitenkin myös suoritti niillä monimutkaisia laskutoimituksia.

Alkeellista nollaa puolestaan käytettiin myös jo muinaisessa Babyloniassa. 

Eufrat- ja Tigrisjokien välissä nykyisen Irakin alueella sijainnut Babylonia oli kadonnut jo lähes 1 200 vuotta ennen Brahmaguptan elinaikaa, mutta babylonialaisilta oli jäänyt paljon aineistoa. 

He kirjoittivat kaiken ­savitauluille, jotka poltettiin, ja niin kirjoitukset säilyivät jälkipolville.

Arkeologit ovat löytäneet noin vuodelta 700 eaa. peräisin olevia savitauluja, joiden nuolenpääkirjoituksessa ”tyhjä” on merkitty kahdella vinolla kiilamerkillä. 

Babylonialaisille nolla ei kuitenkaan ollut itsenäinen luku, vaan he käyttivät merkintää vain osoittamaan, että jokin paikka oli tyhjä. 

Kun babylonialainen kauppias esimerkiksi merkitsi kirjan­pitoonsa luvun 104, merkityksellisten numeroiden 1 ja 4 väliin voitiin vain jättää tyhjä kohta tai niiden väliin voitiin merkitä kaksi kiilaa.

Hämmentävää kyllä, babylonialaiset kirjoittivat harvoin tyhjän merkkiä luvun loppuun. 

Niinpä esimerkiksi 140 merkittiin vain numeroilla 1 ja 4, ja jäi savi­taulun tulkitsijan huoleksi päätellä luvun mittaluokka asiayhteydestä. 

Laskento kuului oppimattomille

Babylonialaisessa lukujärjestelmässä oli siis omat ongelmansa, mutta se oli silti parempi kirjanpitoon ja laskutoimituksiin kuin ne, joita Välimeren suuret kulttuurit käyttivät. 

Silti egyptiläiset, kreikkalaiset tai roomalaiset eivät omaksuneet nollaa eivätkä tunteneet negatiivisia lukuja.

Kreikassa lukuteoreetikot, kuten Pythagoras (580–500 eaa.) ja Euklides (noin 325–265 eaa.), keskittyivät kolmioiden ja neliöiden geometrisiin laskelmiin kaavojen avulla. 

Tavallista aritmetiikkaa eli laskuoppia käyttivät talonpojat ja kauppiaat, jotka tekivät yhteen- ja vähennyslaskuja sormillaan. 

Se hidasti käytännöllisen kirjoitetun lukujärjestelmän kehitystä.

Myöskään roomalaiset tai egyptiläiset kirjurit eivät käsitelleet nollia tai negatiivisia lukuja, ja esimerkiksi varastokirjanpidossa käytettiin apuna helmitaulua tai laskettiin sormin.

Kun egyptiläisten tai roomalaisten oli kirjoitettava jokin suuri luku, heidän oli merkittävä useita symboleita vierekkäin ja tehtävä niiden välillä laskutoimituksia. 

Esimerkiksi roomalaisten numeroiden L merkitsi 50:tä ja V merkitsi 5:tä, ja jos ne merkittiin järjestyksessä LV, ensimmäiseen numeroon lisättiin jäljempänä tullut pienempi numero eli merkintä ­tarkoitti lukua 55. Jos taas ne merkittiin toisin päin, ensimmäisenä ollut pienempi numero vähennettiin suuremmasta eli VL merkitsi lukua 45. 

Suurien lukujen merkinnöistä saattoi tulla erittäin pitkiä, ja ne olivat hankalia esimerkiksi kerto- ja jakolaskuissa.

Muutama vuosisata myöhemmin intialais­ten nollan sisältävä kymmenkantainen järjestelmä olisi tarjonnut ratkaisun tämänkaltaisiin ongelmiin, mutta kesti aikansa, ennen kuin se herätti kiinnostusta.

Viisautta vaalittiin Bagdadissa

Vuonna 773 jaa. intialainen lähetystö toi Bagdadiin kalifille muun muassa Brahmaguptan tekstejä. 

Erityisesti kalifin poika Harun ­al-Rašid ihastui uusiin tieteellisiin ajatuksiin, ja kun hän nousi valtaan vuonna 786, hän keräsi kaiken Bag­dadiin virtaavan tiedon eräänlaiseen yliopistoon, joka tunnettiin nimellä Viisauden talo.

Viisauden talossa työskenteli muun muassa matemaatikko Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (noin 780–850). 

Kalifin määräyksestä hän ryhtyi kääntämään Brahmaguptan kirjaa arabiaksi, ja se oli lopulta merkittävä askel kohti nollan maailmanmainetta.

Al-Khwarizmi ymmärsi nopeasti, kuinka vallankumouksellisia Brahmaguptan nolla ja negatiiviset luvut olivat ja kuinka niiden avulla voitiin sieventää yhtälöitä. 

Nolla sai arabiaksi nimen sifr, ja tästä sanasta kehittyivät ajan mittaa monien indoeurooppalaisten kielten ”lukua” merkitsevät sanat.

Al-Khwarizmi ihastui myös intialaiseen tapaan merkitä lukuja. 

Yksinkertaisilla numeroilla 0–9 pystyi kirjoittamaan uudenlaista matemaattista kieltä sekä käsittelemään tuntemattomia sisältäviä yhtälöitä ja ratkaisemaan toisen asteen yhtälöitä. 

Al-Khwarizmi kehittikin aivan uuden matematiikan alan: algebran.

Uudet luvut yritettiin kieltää

Uudet luvut ja teoriat levisivät pian ara­bien valloittaman Espanjan kautta muuhun Eurooppaan. 

Espanjalaiset kauppiaat suhtautuivat aluksi epäillen pakanallisiin lukuihin, joita he kutsuivat ”arabialaisiksi”, mutta vähitellen ne hyväksyttiin, sillä Brahmaguptan nollan ja yhdeksän muun intialaisen numeron avulla oli paljon helpompi käsitellä laskutoimituksia kuin roomalaisilla numeroilla.

Myös italialaiset kauppiaat levittivät nollaa Eurooppaan. Italialaiset kävivät kauppaa arabien kanssa niin Lähi-idässä kuin Pohjois-Afrikassakin ja havaitsivat pian, kuinka käteviä nolla ja ”arabia­laiset” numerot olivat. 

Yksi näistä käännynnäisistä oli matemaatikko Leonardo Pisano, joka tunnetaan yleisesti nimellä Fibonacci (1170–1250).

Fibonacci asui lapsena Pohjois-Afrikassa, missä hänen isänsä toimi Pisan kaupungin kaup­piaiden edustajana. 

Afrikassa Fibonacci oppi idästä tulevilta arabikauppiailta nollan ja muut uudet numerot. Laskutoimituksia käsittelevässä kirjassaan Liber Abaci vuodelta 1202 ­Fibonacci kirjoitti:

”Siellä [Pohjois-Afrikassa] opin tun­temaan yhdeksän intialaista symbolia – – oppi, joka pian ilahdutti minua enemmän kuin mikään muu.”

Iloon yhtyivät monet Italian kaupunkivaltioista, jotka elivät kaupasta. Jotkut ­varoittivat, että uusilla luvuilla oli myös helpompi huijata. 

Esimerkiksi numerot 6 ja 9 saattoi helposti muuttaa nollaksi, samoin kuin ykkösen seitsemäksi. 

Niinpä Firenze kielsi uudet luvut vuonna 1299, mutta sinnikkäät kauppiaat eivät suostuneet luopumaan uudesta kätevästä järjestelmästä, ja kun kukaan ei piitannut kiellosta, se kumottiin vuonna 1316. 

Nollaa vihattiin pitkään

Renessanssin myötä 1400-luvun Euroopassa kiinnostuttiin vanhasta tiedosta, ja matemaatikot iloitsivat, kun läntisiin yliopistoihin saatiin latinankielisiä kään­nöksiä Al-Khwarizmin ja Brahmaguptan teksteistä. 

Algebra ja nolla otettiin ilolla vastaan, mutta negatiiviset luvut hylättiin epäloogisina. Eihän esimerkiksi geometriassa kappaleella voinut olla negatiivista ympärysmittaa.

Negatiiviset luvut omaksuttiin vasta ranskalaisen matemaatikon René Descartesin (1596–1650) koordinaatisto­järjestelmän myötä. 

Brahmaguptan laskusääntöjen perusteella pystyi sijoittamaan kaavoja koordinaatistoon, jonka keskipiste oli nolla.

Negatiiviset luvut olivat kuitenkin vuosisatoja joillekuille niin suuri ongelma, että niitä suorastaan vihattiin.

”Ne sumentavat yhtälöiden opit ja asiat, jotka luonnostaan ovat yksinkertaisia ja ilmeisiä”, valitti brittiläinen matemaatikko Francis Maseres negatiivisista luvuista vielä vuonna 1758.

Lue lisää

Victor J. Katz: The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, Princeton University Press, 2007

Ehkä sinua kiinnostaa...